Question

【題目】若函數(shù)exf（x）（e≈2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：對于①，f（x）=2﹣x ， 則g（x）=exf（x）= 為實數(shù)集上的增函數(shù)；
對于②，f（x）=3﹣x ， 則g（x）=exf（x）= 為實數(shù)集上的減函數(shù)；
對于③，f（x）=x3 ， 則g（x）=exf（x）=exx3 ，
g′（x）=exx3+3exx2=ex（x3+3x2）=exx2（x+3），當(dāng)x＜﹣3時，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定義域R上先減后增；
對于④，f（x）=x2+2，則g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在實數(shù)集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定義域R上是增函數(shù)．
∴具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④．
所以答案是：①④．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點;ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)a;在0<a<1時:x<0時，ax>1,x>0時，0<ax<1;在a>1時:x<0時,0<ax<1,x>0時，ax>1．