Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值是20，求f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）先求出端點(diǎn)的函數(shù)值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）．
（2）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，∴f′（x）=-3x²+6x+9≥0，得x²-2x-3≤0，-1≤x≤3，列表如下；

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	a-14	遞減	a-5	遞增	a+ 22

∴f（x）_最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=-2，∴f（x）_最小值=f（-1）=a-5=-7
故函數(shù)的最小值是-7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．