Question

5．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）解關(guān)于x的不等式  （k+1）f（x）＞kx+1．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1，求出c=1，根據(jù)f（x+1）-f（x）=2x，通過系數(shù)相等，從而求出a，b的值；
（2）f（x）＞2x+m等價(jià)于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，-1]上恒成立，只需使函數(shù)g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]的最小值大于0即可，求出g（x）的最小值即可．
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0，分當(dāng)k=-1，當(dāng)k＞-1，當(dāng)k＜-1 三種情況分別解不等式．

解答 （1）由f（0）=1得，c=1，∴f（x）=ax²+bx+1．又f（x+1）-f（x）=2x
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（5分）
．因此，f（x）=x²-x+1．…（4分）
（2）f（x）＞2x+m等價(jià)于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，只需使函數(shù)g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）．                 …（8分）
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0
當(dāng)k=-1時(shí)，x-1＞0，∴x∈（1，+∞）…（11分）
當(dāng)k＞-1時(shí)，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＞0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＜1∴x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$…（13分）
當(dāng)k＜-1時(shí)，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＜0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＞1∴x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（15分）
綜上：當(dāng)k=-1時(shí)x∈（1，+∞）
當(dāng)k＞-1時(shí)，$x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$
當(dāng)k＜-1時(shí)，$x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（16分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式求解的待定系數(shù)法，涉及恒成立和二次函數(shù)區(qū)間的最值，考查了含參數(shù)不等式的解法，屬中檔題．