Question

橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是

3

，則這個(gè)橢圓方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1

．

Answer 1

分析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得到a=2c，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是

3

求得a和b，進(jìn)而得到橢圓的方程；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，同理可得橢圓方程的方程．

解答：解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題意知a=2c，a-c=

3

，
解得a=2

3

，c=

3

，
所以b²=9，所求的橢圓方程為

x2

12

+

y2

9

=1．
同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，所求的橢圓方程為

x2

9

+

y2

12

=1．
故答案為：

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要特別注意橢圓的焦點(diǎn)在x軸還是在y軸．