Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x ， 其中a∈R． （Ⅰ）求函數(shù)f'（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）證明：a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x，

得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）e1﹣x，

令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．

所以當(dāng)a=﹣2時(shí)，函數(shù)f′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)：x=2；

當(dāng)a≠﹣2時(shí)，函數(shù)f′（x）有兩個(gè)相異的零點(diǎn)：x=2，x=﹣a．

（Ⅱ）證明：①當(dāng)a=﹣2時(shí)，f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)f（x）無(wú)極值．

②當(dāng)a＞﹣2時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以，a≥0時(shí)，f（x）的極小值為f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．

又x＞2時(shí)，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，

所以，當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=）=（x2+ax﹣a）e1﹣x＞0恒成立．

所以，f（﹣a）=﹣ae1+a為f（x）的最小值．

故a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分條件．

③當(dāng)a=﹣5時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

因?yàn)楫?dāng)x＞5時(shí)，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，

又f（2）=﹣e﹣1＜0，

所以，當(dāng)a=﹣5時(shí)，函數(shù)f（x）也存在最小值．

所以，a≥0不是函數(shù)f（x）存在最小值的必要條件．

綜上，a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件

【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)為0，解得即可；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）分類(lèi)討論，分別利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系以及充分不必要條件的定義即可證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．