【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率是 ,且過點(diǎn) .直線y= x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面積的最大值;
(Ⅲ)設(shè)直線PA,PB分別與y軸交于點(diǎn)M,N.判斷|PM|,|PN|的大小關(guān)系,并加以證明.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓 =1(a>b>0)的半焦距為c,
由橢圓C的離心率是e= = = ,即a2=2b2,
將點(diǎn) 代入橢圓方程: .解得 ,
∴橢圓C的方程為 ;.[(4分)]
(Ⅱ)由 ,消去y,整理得x2+ mx+m2﹣2=0.
令△=2m2﹣4(m2﹣2)>0,解得﹣2<m<2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=﹣ m,x1x2=m2﹣2.
∴丨AB丨= = ,
點(diǎn) .到直線x﹣ y+ m=0的距離為d= = .
∴△PAB的面積S= 丨AB丨d= 丨m丨 ,
= ≤ ,
當(dāng)且僅當(dāng)m=± 時(shí),S= .
則△PAB的面積的最大值 ;
(Ⅲ)丨PM丨=丨PN丨.證明如下:
設(shè)直線PA,PB的斜率分別是k1,k1,
則k1+k2= + = ,
由(Ⅱ)得(y1﹣1)(x2﹣ )+(y2﹣1)(x1﹣ ),
=( x1+m﹣1)(x2﹣ )+( x1+m﹣1)(x1﹣ ),
= x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣2 (m﹣1),
= (m2﹣2)+(m﹣2)(﹣ m)﹣2 (m﹣1)=0,
∴直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ).
∴∠1=∠2,
∴∠PMN=∠PNM.
∴丨PM丨=丨PN丨.
【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率公式,求得a2=2b2,將P代入橢圓方程,即可求得a和b的值;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,求得m的取值范圍,利用韋達(dá)定理,弦長公式,根二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得△PAB的面積的最大值;(Ⅲ)設(shè)直線PA,PB的斜率分別是k1,k1,根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式求得k1+k2=0,則∠PMN=∠PNM,則丨PM丨=丨PN丨.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0. (Ⅰ)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0 , h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),若 >0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”.當(dāng)a=4時(shí),試問y=f(x)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在五面體ABCDEF中,面CDE和面ABF都為等邊三角形,面ABCD是等腰梯形,點(diǎn)P、Q分別是CD、AB的中點(diǎn),F(xiàn)Q∥EP,PF=PQ,AB=2CD=2.
(1)求證:平面ABF⊥平面PQFE;
(2)若PQ與平面ABF所成的角為 ,求三棱錐P﹣QDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的方程為x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求l的普通方程與C的極坐標(biāo)方程;
(2)已知l與C交于P,Q,求|PQ|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+ax﹣a)e1﹣x , 其中a∈R. (Ⅰ)求函數(shù)f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)證明:a≥0是函數(shù)f(x)存在最小值的充分而不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PC⊥平面ABCD,點(diǎn)E在棱PA上.
(Ⅰ)求證:直線BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC∥平面BDE,求證:AE=EP;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)E,使得四面體A﹣BDE的體積等于四面體P﹣BDC的體積的 ?若存在,求出 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+ (a≠0).
(1)若a=1,解關(guān)于x的不等式f(x)≥|x﹣2|;
(2)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求正數(shù)m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前3項(xiàng)和是7,等差數(shù)列{bn}滿足b1=3,2b2=a2+a4 . (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn .
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