【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率是 ,且過點(diǎn) .直線y= x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面積的最大值;
(Ⅲ)設(shè)直線PA,PB分別與y軸交于點(diǎn)M,N.判斷|PM|,|PN|的大小關(guān)系,并加以證明.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓 =1(a>b>0)的半焦距為c,

由橢圓C的離心率是e= = = ,即a2=2b2,

將點(diǎn) 代入橢圓方程: .解得 ,

∴橢圓C的方程為 ;.[(4分)]

(Ⅱ)由 ,消去y,整理得x2+ mx+m2﹣2=0.

令△=2m2﹣4(m2﹣2)>0,解得﹣2<m<2.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=﹣ m,x1x2=m2﹣2.

∴丨AB丨= = ,

點(diǎn) .到直線x﹣ y+ m=0的距離為d= =

∴△PAB的面積S= 丨AB丨d= 丨m丨

= ,

當(dāng)且僅當(dāng)m=± 時(shí),S=

則△PAB的面積的最大值

(Ⅲ)丨PM丨=丨PN丨.證明如下:

設(shè)直線PA,PB的斜率分別是k1,k1

則k1+k2= + = ,

由(Ⅱ)得(y1﹣1)(x2 )+(y2﹣1)(x1 ),

=( x1+m﹣1)(x2 )+( x1+m﹣1)(x1 ),

= x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣2 (m﹣1),

= (m2﹣2)+(m﹣2)(﹣ m)﹣2 (m﹣1)=0,

∴直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ).

∴∠1=∠2,

∴∠PMN=∠PNM.

∴丨PM丨=丨PN丨.


【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率公式,求得a2=2b2,將P代入橢圓方程,即可求得a和b的值;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,求得m的取值范圍,利用韋達(dá)定理,弦長公式,根二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得△PAB的面積的最大值;(Ⅲ)設(shè)直線PA,PB的斜率分別是k1,k1,根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式求得k1+k2=0,則∠PMN=∠PNM,則丨PM丨=丨PN丨.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

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