Question

19．為了研究某學(xué)科成績是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高三年級抽取了30名男生和20名女生的該學(xué)科成績，得到如所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）．

（Ⅰ）（i）請根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計(jì)
男生
女生
總計(jì)			50

（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過10%的前提下認(rèn)為“該學(xué)科成績與性別有關(guān)”？
（Ⅱ）將頻率視作概率，從高三年級該學(xué)科成績中任意抽取3名學(xué)生的成績，求成績?yōu)閮?yōu)分人數(shù)X的期望和方差．

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²⁼$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表即可補(bǔ)充完整，假設(shè)X＜100：該學(xué)科成績與性別無關(guān)，利用觀測值即可判斷出結(jié)論．
（Ⅱ）由于有較大的把握認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)，因此需要將男女生成績的優(yōu)分頻率0.4視作概率，設(shè)從高三年級中任意抽取3名學(xué)生的該學(xué)科成績中，人數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計(jì)
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計(jì)	20	30	50

假設(shè)H₀：該學(xué)科成績與性別無關(guān)，
則K²的觀測值k=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50×（9×9-11×21）^{2}}{20×30×20×30}$=3.125，
因?yàn)?.125＞2.706，
所以能在犯錯(cuò)誤概率不超過10%的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)．
（Ⅱ）由于有較大的把握認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)，
因此需要將男女生成績的優(yōu)分頻率f=$\frac{20}{50}$=0.4視作概率；
設(shè)從高三年級中任意抽取3名學(xué)生的該學(xué)科成績中，優(yōu)分人數(shù)為X，
則X服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}0．{6}^{3-k}•0．{4}^{k}$．
P（X=0）=0.216，P（X=1）=0.432，P（X=2）=0.288，P（X=3）=0.064．

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

EX=3×0.4=1.2．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖、莖葉圖、線性相關(guān)、概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．