Question

【題目】已知函數(shù) (其中為自然對數(shù)的底數(shù)， )

(1) 設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù)；

(2) 若時，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 當(dāng)時，零點個數(shù)為0； 當(dāng)時，零點個數(shù)為1；當(dāng)時，零點個數(shù)為2；（2）

【解析】試題分析： 要求的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為即 的解的個數(shù)，然后分類討論（2）依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，然后分類討論

解析：（1）由得

（*），問題等價于方程（*）解的個數(shù)，

方程（*）的判別式，因此：

當(dāng)時，方程（*）無解，函數(shù)的零點個數(shù)為0；

當(dāng)時，方程（*）有兩個相等實數(shù)根，函數(shù)的零點個數(shù)為1；

當(dāng)時，方程（*）有兩個不相等實數(shù)根，函數(shù)的零點個數(shù)為2；

（2）由是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以可化為在時恒成立.

分情況討論：

(1) 時， 在時取得最小值，由得；

(2) 時， 在時取得最小值，由得

，無解

綜上所述： 的取值范圍是