Question

等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1且a₃，a₆，a₁₀+2成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前20項和S₂₀；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2^an，求證b_n•b_n+2＜b．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題意，可得等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，由a₃，a₆，a₁₀+2成等比，利用等比中項定義列式得到關于d的方程，解之得d=1，即可求出數(shù)列{a_n}的前20項和S₂₀；
（II）由（I）的結論，得b_n+1=b_n+2^an=b_n+2ⁿ，采用累加的方法求出b_n=2ⁿ-1．不等式的左右兩邊作差，并化簡得
b_n•b_n+2-b=-2ⁿ＜0，由此即可得到原不等式恒成立．
解答：解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵{a_n}的各項均為正數(shù)，∴d＞0，
又∵a₃，a₆，a₁₀+2成等比數(shù)列
∴a₆²=a₃（a₁₀+2），即（1+5d）²=（1+2d）（3+9d），
整理得7d²-5d-2=0，解之得d=1（舍去-）
因此，數(shù)列{a_n}的前20項和S₂₀=20a₁+=20+190=210；
（II）由（I）得a_n=1+（n-1）×1=n，可得b_n+1=b_n+2^an=b_n+2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ．
因此，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，…，b_n-b_n-1=2^n-1，
將此n-1個式子相加，得b_n-b₁=2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-2
∴b_n=b₁+2ⁿ-2=2ⁿ-1，（n≥2）
當n=1時，b₁=1=2¹-1也成立，故對任意的n∈N₊，均有b_n=2ⁿ-1．
∴b_n•b_n+2-b=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1-（2²ⁿ⁺²-2•2ⁿ⁺¹+1）
=-2ⁿ⁺²-2ⁿ+2ⁿ⁺²=-2ⁿ＜0
由此可得不等式b_n•b_n+2＜b對任意的n∈N₊恒成立．
點評：本題給出首項為1的等差數(shù)列滿足的關系式，求它的前20項之和并依此證明不等式恒成立．著重考查了等差等比數(shù)列的通項公式、求和公式和作差比較法證明不等式恒成立等知識，屬于中檔題．