設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+
π
3
）-2sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，若cosB=
1
3
，f（
C
2
）=-2，求sinA．
考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析：（1）運(yùn)用兩角和的余弦公式及二倍角公式，即可得到y(tǒng)=
3
cos（2x+
π
6
）-1，由余弦函數(shù)的最值和單調(diào)增區(qū)間，即可得到答案；
（2）分別求出sinB，化簡f（
C
2
）=-2，即可得到cos（C+
π
6
）=-
3
3
，sin（C+
π
6
）=
6
3
，再由C=（C+
π
6
）-
π
6
，求出sinC，cosC，再由sinA=sin（B+C），運(yùn)用兩角和的正弦公式，即可得到答案．
解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+
π
3
）-2sin2x
=
1
2
cos2x-
3
2
sin2x-（1-cos2x）
=
3
（
3
2
cos2x-
1
2
sin2x）-1
=
3
cos（2x+
π
6
）-1
則函數(shù)f（x）的最大值為
3
-1，
令2kπ-π≤2x+
π
6
≤2kπ，k∈Z，
即kπ-
7π
12
≤x≤kπ-
π
12
，
則單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
7π
12
，kπ-
π
12
]，k∈Z；
（2）若cosB=
1
3
，則
π
3
＜B＜π，sinB=
2
2
3
．
則0＜C＜
2π
3
，
由于f（
C
2
）=-2，即
3
cos（C+
π
6
）-1=-2，
即cos（C+
π
6
）=-
3
3
，
由于
π
6
＜C+
π
6
＜
5π
6
，則sin（C+
π
6
）=
6
3
，
則cosC=cos[（C+
π
6
）-
π
6
]=（-
3
3
）×
3
2
+
6
3
×
1
2
=
6
-3
6
，
sinC=sin[（C+
π
6
）-
π
6
]=
6
3
×
3
2
-（-
3
3
）×
1
2
=
3
2
+
3
6
，
故sinA=sin（B+C）=
2
2
3
×
6
-3
6
+
1
3
×
3
2
+
3
6
=
5
3
-3
2
18
．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查三角函數(shù)的最值和單調(diào)增區(qū)間，以及三角函數(shù)中的角的變換，考查兩角和差公式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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若方程
3
sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩個不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為
 
．

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數(shù)列{an}的前項和記為Sn，a1=1，且滿足an+1=2Sn+1（n∈N+）．
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）對n∈N+，在an與an+1之間插入3n個數(shù)，使這3n+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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（1）用導(dǎo)數(shù)證明：若x∈（0，
π
2
），則sinx＜x＜tanx．
（2）若a＜
sinx
x
＜b對x∈（0，
π
2
）恒成立，求a的最大值與b的最小值．

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（1）求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
an•an+1
}的前n項和，若Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

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已知函數(shù)f（x）=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）實(shí)數(shù)k滿足什么條件時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2k，4k+1）上單調(diào)遞增？

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已知函數(shù)y=x2+2x-4的定義域?yàn)閇-3，a]，求函數(shù)值域的范圍．

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某志愿者到某山區(qū)小學(xué)支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對某班40名學(xué)生進(jìn)行了一次幸福指數(shù)的調(diào)查問卷，并用莖葉圖表示如下（注：圖中幸福指數(shù)低于70，說明孩子幸福感弱；幸福指數(shù)不低于70，說明孩子幸福感強(qiáng)）．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為孩子的幸福感強(qiáng)與是否是留守兒童有關(guān)？
幸福感強(qiáng)幸福感弱合 計
留守兒童
非留守兒童
合 計
（Ⅱ）從15個留守兒童中按幸福感強(qiáng)弱進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行家訪，求這2個學(xué)生中恰有一人幸福感強(qiáng)的概率．
參考公式：Χ2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
；  附表：
P（x2≥k）0.0500.010
k3.8416.635

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