Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）實數(shù)k滿足什么條件時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2k，4k+1）上單調(diào)遞增？

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用函數(shù)的當時與極值的關系即可得出；
（II）利用f′（x）=0，列出表格即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

=

-ax2+ab

(x2+b)2

．
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值-2	單調(diào)遞增	極大值2	單調(diào)遞減

∴f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2k，4k+1）上單調(diào)遞增，則有

2k≥-1 4k+1≤1 4k+1＞2k

，解得-

1

2

＜k≤0．
即k∈(-

1

2

，  0]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2k，4k+1）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查了利用導數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．