Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為4，D是側棱CC₁的中點．
（Ⅰ）在線段AB₁上是否存在一點M，使得DM∥平面ABC，若存在，求出AM的長．若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB，AB₁的中點分別為N，M，連接NM，NC，證明四邊形NMDC是平行四邊形，即可；
（Ⅱ）根據線面角的定義作出直線和平面所成角的平面角，根據三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在線段AB₁上存在一點M，使得DM∥平面ABC，
如圖，取AB，AB₁的中點分別為N，M，連接NM，NC，
則NM∥BB₁∥DC．且NM=$\frac{1}{2}$BB₁=DC，
∴四邊形NMDC是平行四邊形，
∴MD∥NC，
∵NC?平面ABC，MD?平面ABC，
∴DM∥平面ABC，此時AM=$\frac{1}{2}$AB₁=2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）取A₁C₁的中點E，連接B₁E，
∴B₁E⊥A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁E，
又AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，
連接AE，則AE是AB₁在平面ACC₁A₁內的射影，
∴∠B₁AE是AB₁與平面ACC₁A₁所成的角，
在直角三角形B₁AE中，B₁E=2$\sqrt{3}$，AB₁=4$\sqrt{2}$，
則sin∠B₁AE=$\frac{{B}_{1}E}{A{B}_{1}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查線面平行的定理的應用以及直線和平面所成角的求解，利用相應的判定定理以及線面角的定義作出平面角是解決本題的關鍵．