Question

10．某工廠制造一批無蓋長方體容器，已知每個容器的容積都是9立方米，底面都是一邊長為2米，另一邊長為x米的長方形，如果制造底面的材料費(fèi)用為2a元/平方米，制造側(cè)面的材料費(fèi)用為a元/平方米，設(shè)計時材料的厚度忽略不計．
（1）試將制造每個容器的成本y（單位：元）表示成底面邊長x（單位：米）的函數(shù)；
（2）如何設(shè)計容器的底面邊長x（單位：米）的尺寸，使其成本最低？

Answer 1

分析 （1）設(shè)長方體容器的高為h（h＞0），依據(jù)題意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，從而寫出該容器成本y（單位：元）表示成底面邊長x（單位：米）的函數(shù)；
（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）設(shè)長方體容器的高為h（h＞0），依據(jù)題意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，-------------3分
容器的側(cè)面積為4h+2xh，容器底面積為2x，
所以y=4ax+a（4h+2xh）=2a（2x+$\frac{9}{x}$）+9a（x＞0）-----------------------8分
（2）令f（x）=2x+$\frac{9}{x}$（x＞0），所以2x+$\frac{9}{x}$≥6$\sqrt{2}$，-------------------------------------------10分
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{9}{x}$，即x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)取得最小值．-------------------------------------------12分
答：當(dāng)容器底面邊長為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$米時，其成本最低．-------------------------------------------14分

點評 本題考查了基本不等式在實際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，屬于中檔題．