Question

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上（含85分）的學生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生才能獲得面試資格．
（1）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)；
（3）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

Answer 1

解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第4組的頻率為0.2，
頻率分布圖如圖：…（3分）
（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x-85）×0.06=0.5，…（5分）
解得，
所以樣本中位數(shù)的估計值為…（6分）
（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4=16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6=24人
優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人 …（8分）
記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M，
將考試成績優(yōu)秀的三名學生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學生記為a，b
從這5人中任選2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件 …（9分）
事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個…（10分）
所以…（12分）
分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖的性質(zhì)，根據(jù)所給的頻率分步直方圖中小矩形的長和寬，求出矩形的面積，即這組數(shù)據(jù)的頻率，根據(jù)各小組的頻率之和為1求出第四組的頻率，進一步補全頻率分布直方圖．
（2）第一、二兩組的頻率和為0.4，第三組的頻率為0.3，所以中位數(shù)落在第三組，由此能求出筆試成績的中位數(shù)．
（3）根據(jù)概率公式計算，事件“5位同學中抽兩位同學”有10種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“優(yōu)秀””可能種數(shù)是9，那么即可求得事件M的概率．
點評：本題考查頻率分步直方圖的性質(zhì)，考查等可能事件的概率，本題是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目．