Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若二面角大小為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意先證明，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再運(yùn)用面面垂直的判定定理證明

（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線與的向量表示，然后運(yùn)用空間向量知識(shí)求出異面直線所成角的余弦值

（3）結(jié)合(2)中的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量知識(shí)結(jié)合二面角為求出結(jié)果

（1）證明：為的中點(diǎn)，

∴四邊形為平行四邊形，

即

又平面平面，且平面平面，

∴平面

∵平面， ∴平面平面

（2）解：為 的中點(diǎn)，

∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

如圖，以 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則 ，

是 的中點(diǎn)，

設(shè)異面直線與所成角為 ，

則

∴異面直線與所成角的余弦值為．

（3）解：由（2）知平面的法向量為

由

得

又，

設(shè)平面 法向量為，

由可取

∵二面角為60°，，