Question

設點A、B為拋物線y²=4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設出P，Q，M的坐標，由已知得到三點坐標的關系，然后分l的斜率存在和不存在分析，當斜率存在時，設出直線l的方程，和拋物線聯(lián)立后結合根與系數(shù)的關系求得M的軌跡．

解答： 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
則x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①，

y

x

•

y1-y2

x1-x2

=-1  ②，
當l垂直于x軸時，M（4P，0），
當l斜率存在時，由題意可知斜率k不會為0，
設l_AB：y=kx+b，
聯(lián)立

y=kx+b y2=4px

，得k²x²+（2kb-4p）x+b²=0，
∴x1+x2=

4p-2kp

k2

，x1x2=

b2

k2

，
y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=

4pb

k

，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴x1•x2+y1•y2=

b2

k2

+

4pb

k

=0，
即k=-

b

4p

  ③，
∵

y

x

•

y1-y2

x1-x2

=-1，即

y

x

•k=-1  ④，
又∵點M滿足y=kx+b  ⑤，
由③④⑤得：（x-2p）²+y²=4p²，
而M（4P，0）滿足上式，
∴點M的軌跡方程為：（x-2p）²+y²=4p²．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，重點體現(xiàn)了舍而不求的解題思想方法，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關系求解，是中檔題．