Question

16．為了解班級(jí)學(xué)生對任課教師課堂教學(xué)的滿意程度情況．現(xiàn)從某班全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取12名，測試的滿意度分?jǐn)?shù)（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根據(jù)學(xué)校體制標(biāo)準(zhǔn)，成績不低于76的為優(yōu)良．
（Ⅰ）從這12名學(xué)生中任選3人進(jìn)行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅱ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記ξ表示測試成績“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）12名學(xué)生中成績是“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)為9人，至少有1人成績是“優(yōu)良”的對立事件是抽到的兩人的成績都不是“優(yōu)良”，由此能求出至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵隨機(jī)抽取12名，測試的滿意度分?jǐn)?shù)（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，
根據(jù)學(xué)校體制標(biāo)準(zhǔn)，成績不低于76的為優(yōu)良，
∴12名學(xué)生中成績是“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)為9人，
從這12名學(xué)生中任選3人進(jìn)行測試，基本事件總數(shù)n=${C}_{12}^{3}$=220，
至少有1人成績是“優(yōu)良”的對立事件是抽到的兩人的成績都不是“優(yōu)良”，
∴至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{219}{220}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{108}{220}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{84}{220}$，
∴ξ有的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{108}{220}$	$\frac{84}{220}$

Eξ=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}+2×\frac{108}{220}+3×\frac{84}{220}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．