Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過右焦點F（c，0）且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的弦長為$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，設(shè)直線y=t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點A、B．以線段AB為直徑作圓M．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M的方程；
（3）過點P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）作圓M的弦，求最短弦的長．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率即通徑公式即可求得a和b的值，求得橢圓標準方程；
（2）求得A點坐標，代入橢圓方程，求得t的值，即可求得圓心及半徑，求得圓M的方程；
（3）由（2）可知：過M的最短弦，過P且垂直于MP，利用勾股定理及兩點之間的距離公式，即可求得最短弦的長．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，則$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴a²=b²+c²，解得：a²=12，b²=4，
∴橢圓E的標準方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由題意可知：A（t，t）在橢圓上，$\frac{{t}^{2}}{12}+\frac{{t}^{2}}{4}=1$，解得：t=$\sqrt{3}$，
∴圓M的方程x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3，
（3）由（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$）²=$\frac{3}{2}$＜3，則P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在圓M內(nèi)，
圓M的圓心為（0，$\sqrt{3}$），半徑為$\sqrt{3}$，
則過M的最短弦，過P且垂直于MP，
則弦長$\sqrt{{r}^{2}-丨MP{丨}^{2}}$=2$\sqrt{3-[（\frac{\sqrt{3}}{2}{-0）}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}{-\sqrt{3}）}^{2}]}$=$\sqrt{6}$，
最短弦的長$\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓的標準方程，考查計算能力，屬于中檔題．