Question

倒圓錐形容器的軸截面是正三角形，內盛水的深度為6 cm，水面距離容器口距離為1 cm，現放入一個棱長為4 cm的正方體實心鐵塊，讓正方體一個面與水平面平行，問容器中的水是否會溢出？

Answer 1

解析：如圖甲所示：

O′P=6 cm,OO′=1 cm.當正方體放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否會溢出，只要比較圓錐中ABCD部分的體積和正方體位于容器口以下部分的體積即能判定.

如圖甲，設水的體積為V₁，容器的總容積為V，則容器尚余容積為V?V₁.

由題意得，O′P=6,OO′=1.

∴OP=7,OA²=,O′C²=12,

∴V=πOA²×7=×49π,

V₁=πO′C²×6=24π.

∴未放入鐵塊前容器中尚余的容積為

V-V₁=×49π-24π≈44.3 cm³.

如圖所示，放入鐵塊后，EMNF是以鐵塊下底面對角線作圓錐的軸截面.

∴MN=，∴O₁M=，O₁P=，∴GM=7-，

∴正方體位于容器口下的體積為

4×4×(7-)=112-≈33.6＜44.3,

∴放入鐵塊后容器中的水不會溢出.