Question

倒圓錐形容器的軸截面是正三角形，內(nèi)盛水的深度為6cm，水面距離容器口距離為1cm，現(xiàn)放入一個棱長為4cm的正方體實心鐵塊，讓正方體一個面與水平面平行，問容器中的水是否會溢出？

Answer 1

分析：當正方體放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否會溢出，只要比較圓錐中ABCD部分的體積和正方體位于容器口以下部分的體積即能判定．

解答：解：如圖甲所示：

O′P=6cm，OO′=1cm．如圖甲，設水的體積為V₁，容器的總?cè)莘e為V，則容器尚余容積為V?V₁．
由題意得，O′P=6，OO′=1．
∴OP=7，OA²=

49

3

，O′C²=12，
∴V=

1

3

πOA²×7=

7

9

×49π，
V₁=

1

3

πO′C²×6=24π．
∴未放入鐵塊前容器中尚余的容積為
V-V₁=

7

9

×49π-24π≈44.3cm³．
如圖所示，放入鐵塊后，EMNF是以鐵塊下底面對角線作圓錐的軸截面．
∴MN=4

2

，∴O₁M=2

2

，O₁P=2

6

，∴GM=7-2

6

，
∴正方體位于容器口下的體積為
4×4×（7-2

6

）=112-32

6

≈33.6＜44.3，
∴放入鐵塊后容器中的水不會溢出．

點評：主要考查知識點：簡單幾何體和球，考查計算能力，是基礎題．