Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²-ex-2，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 通過(guò)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率以及切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)h（x）=f'（x），利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h'（x）=e^x-2a，利用（1）當(dāng)a≤

1

2

，h（x）在[0，1]上的單調(diào)性，推出h（x）≥1-e．（2）當(dāng)a＞

e

2

時(shí)，推出h（x）≥-2a．（3）當(dāng)

1

2

＜a≤

e

2

時(shí)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解h（x）≥2a-2aln2a-e．

解答： 解：（Ⅰ） a=1時(shí)，f（x）=e^x-x²-ex-2，
∵f'（x）=e^x-2x-e，
∴f（1）=e¹-1²-e×1-2=-3，f'（1）=-2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+3=-2（x-1）．
即2x+y+1=0…（6分）
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax²-ex-2，h（x）=f'（x）=e^x-2ax-e，h'（x）=e^x-2a，
（1）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a≥0，h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以h（x）≥h（0）=1-e．
（2）當(dāng)a＞

e

2

時(shí)，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a＜0，h（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以h（x）≥h（1）=-2a．
（3）當(dāng)

1

2

＜a≤

e

2

時(shí)，h'（x）=e^x-2a=0得x=ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上單調(diào)遞減，在[ln2a，1]上單調(diào)遞增，
所以h（x）≥h（ln2a）=2a-2aln2a-e…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．