Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+e^-x
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，得到f（x₁）與f（x₂）大小，根據(jù)單調(diào)性的定義證明．

解答： （1）解：∵f（x）的定義域?yàn)镽 
∵f（-x）=e^-x+e^x=f（x）（3分）
∴f（x）為偶函數(shù)                                         （5分）
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

═(ex1-ex2)(1-

1

ex1ex2

)，
因?yàn)?span id="oowy8uv" class="MathJye">ex1-ex2＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1
∴ex1＞1，ex2＞1（11分）
∴ex1ex2＞1，

1

ex1ex2

＜1
1-

1

ex1ex2

＞0（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0（13分）
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用；關(guān)鍵是利用定義解答．