Question

已知分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn), 且
（1）求橢圓的方程;
（2）與圓相切的直線(xiàn)交橢于,若橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由題意知，即，利用拋物線(xiàn)定義，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，且在橢圓上，利用橢圓的定義可求，從而可求，進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線(xiàn)和圓相切的充要條件，得，化簡(jiǎn)變形為，設(shè)，結(jié)合已知條件，并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，將表示點(diǎn)的坐標(biāo)用表示出來(lái)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得的方程，同時(shí)通過(guò)消參，將表示為的形式，再求其值域即得實(shí)數(shù)的取值范圍．
（1）由題知,所以,
又由拋物線(xiàn)定義可知,得,
于是易知,從而,
由橢圓定義知,得,故,
從而橢圓的方程為                                              6分
（2）設(shè),則由知,
,且,   ①
又直線(xiàn)與圓相切,所以有,
由,可得   ②
又聯(lián)立消去得
且恒成立,且,
所以,所以得        8分
代入①式得,所以
又將②式代入得,,                            10分
易知,所以,
所以的取值范圍為                    13分