【題目】在時(shí)鐘的表盤上作9個(gè)的扇形，每一個(gè)都覆蓋4個(gè)數(shù)字，每兩個(gè)覆蓋的數(shù)字不全相同.求證：一定可以找到3個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤.舉一個(gè)反例說明，作8個(gè)扇形將不具有上述性質(zhì).

【答案】見解析

【解析】

證明1 取所作扇形所覆蓋的第一個(gè)數(shù)字（均按順時(shí)針方向計(jì)算）記為

，，…，. ①

由各個(gè)扇形覆蓋的數(shù)字不全相同知，上述9個(gè)數(shù)字互不相同.因此，鐘面上的12個(gè)數(shù)字中，還有3個(gè)不在①中，記為，，. ②

這樣，在①中必存在一個(gè)數(shù)，使關(guān)于模4與，，均不同余，這時(shí)數(shù)組，，

（其中）所對(duì)應(yīng)的三個(gè)扇形恰好蓋住了鐘面上的12個(gè)數(shù)字.又由的取法知，，，均不屬于②，即其所對(duì)應(yīng)的3個(gè)扇形屬于已作的那9個(gè)扇形.

證明2 符合條件的扇形共可作12個(gè)：

，

其中，且，.

將這12個(gè)扇形分成四組：

第一組 ，，；

第二組 ，，；

第三組 ，，；

第四組 ，，.

每一組都能覆蓋整個(gè)表盤.當(dāng)任作9個(gè)扇形時(shí)，相當(dāng)于從上述4組中取出9個(gè)元素，由知，必存在3個(gè)元素屬于同一組，這同一組的三個(gè)扇形便覆蓋了整個(gè)鐘面.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

設(shè)，且、是曲線上的任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

（l）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）若為曲線上任意一點(diǎn)，|的最大值;

（3）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).

（1）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程為y=x，求a、b的值；

（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左，右頂點(diǎn)分別為，，長軸長為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若為橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，證明：直線，的斜率的乘積為定值；

（3）已知兩條互相垂直的直線，都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于，和，四點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若是素?cái)?shù)，證明存在0，1，2，…，的一個(gè)排列（，，…，），使得，，，…，.被除的余數(shù)各不相同.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù):若存在閉區(qū)間和常數(shù)e，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.

(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;

(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對(duì)兩人的訓(xùn)練成績作出評(píng)價(jià).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N．

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

(2)若，求實(shí)數(shù)a的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案