Question

A、B是雙曲線-y²=1上兩點(diǎn)，M為該雙曲線右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且=．
（Ⅰ）求||的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（Ⅱ）求||的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x=，記M（，m），并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由=，知M為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率k存在，且k≠0，于是直線AB的方程為y=k（x-）+m，
代入雙曲線方程，并整理得（1-3k²）x²+3k（3k-2m）x-（3k-2m）²-3=0
因?yàn)? 1-3k²≠0，x₁+x₂=3，
所以，∴，
△=9 k²（3k-2m）²+3（1-3k²）[（3k-2m）²-3]=
由△＞0，得 0＜k²＜，所以m²＞．
因?yàn)閨|=，
故||的取值范圍為（，+∞）．
（Ⅱ）||²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=
因?yàn)?k²（1-3k²）≤（）²=
所以||²≥=48，當(dāng)且僅當(dāng)k²=時(shí)取“=”號(hào)．
故當(dāng)k=±時(shí)，||取得最小值4．
分析：（Ⅰ）由于M為該雙曲線右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，故可得M（，m），由=，知M為AB的中點(diǎn)，進(jìn)而假設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可求的參數(shù)的范圍，進(jìn)而可確定||的取值范圍；
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式可得||²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=，根據(jù)基本不等式有4k²（1-3k²）≤（）²=，從而可求||取得最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．