Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=1nx．
（1）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M，N，求a的取值范圍；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點．平行于AB的切線以 P（x₀，y₀）為切點，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

解：（1）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點?方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根
?ax²-x=1nx有兩個不等的實根?有兩個不等的實根
?函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個不同的交點．
令r（x）=，則r′（x）=
當0＜x＜1時，r′（x）＞0，則r（x）單調(diào)遞增，且r（e^-1）=，
當x＞1時，r′（x）＜0，則r（x）單調(diào)遞減，且，
所以r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1
所以要使函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個不同的交點．只需0＜a＜1
（2）由已知：過點P的切線的斜率為k=，所以
=
設t=得，構(gòu)造函數(shù)y=t-1-lnt，
當t≥1時，y′=，所以函數(shù)y=t-1-lnt在t≥1時是增函數(shù)．
于是t＞1時，t-1-lnt＞0，則x₀-x₁＞0即x₀＞x₁成立．
同理可證x₂＞x₀成立．
故有x₁＜x₀＜x₂．
分析：（1）通過等價轉(zhuǎn)化把問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個不同的交點，進而通過導數(shù)法分析函數(shù)y=得結(jié)論．
（2）利用某點處的切線斜率等于其導數(shù)值得特點建立關系式，通過作差法構(gòu)造函數(shù)來比較大�。�
點評：本題為函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究其特性是解決問題的關鍵，屬中檔題．