Question

已知函數(shù)f（x）=3ax-2x²+lnx，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），并將其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）＜0，得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為則f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立問題，進(jìn)而將不等式參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=3x-2x²+lnx，則f（x）的定義域是（0，+∞）
∵f′(x)=3-4x+

1

x

=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵f′(x)=3a-4x+

1

x

．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立．
∴3a-4x+

1

x

≥0，或3a-4x+

1

x

≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立．
即3a≥4x-

1

x

，或3a≤4x-

1

x

在區(qū)間[1，2]上恒成立．
設(shè)h（x）=4x-

1

x

，
∵h(yuǎn)′（x）=4+

1

x2

＞0
∴h（x）=4x-

1

x

在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)．
h（x）_max=h（2）=

15

2

，h（x）_min=h（1）=3
∴只需3a≥

15

2

，或3a≤3．
∴a≥

5

2

，或a≤1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的方法，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的重要應(yīng)用；不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法