分析 由題意,圖形關于x軸對稱,A,B,P三點共線,可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$.由焦半徑公式|AF|=x1+1=|NF|,||BF|=x2+1=|MF|,$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18,(y1+y2)2=20y1y2,再利用韋達定理,即可得出結論.
解答 解:由題意,圖形關于x軸對稱,A,B,P三點共線,可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$.
由焦半徑公式|AF|=x1+1=|NF|,||BF|=x2+1=|MF|,
∴$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18,∴(y1+y2)2=20y1y2,
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k(x+1)}\end{array}\right.$,可得ky2-4y+4k=0,
∴y1+y2=$\frac{4}{k}$,y1y2=4,∴$\frac{16}{{k}^{2}}$=80,
∵k>0,∴k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
點評 本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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