Question

13．函數(shù)y=f（x）是定義在無限集合D上的函數(shù)，并且滿足對于任意的x∈D，f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N）．
①若y=f（x）=$\frac{1+x}{1-3x}$，則f₈（1）=0；
②試寫出滿足下面條件的一個函數(shù)y=f（x）：存在x₀∈D，使得由f₁（x₀），f₂（x₀），…，f_n（x₀），…組成的集合有且僅有兩個元素，這樣的函數(shù)可以是f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$（只需寫出一個滿足條件的函數(shù)）

Answer 1

分析 ①由已知條件分別求出f₁（x），f₂（x），f₃（1），f₄（1）的值，由函數(shù)值周期性出現(xiàn)可得f₈（1）；
②直接舉出分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，取x₀=1，可得當n為奇數(shù)時，f_n（x₀）=-1，當n為偶數(shù)時，f_n（x₀）=1．

解答 解：①∵y=f（x）=$\frac{1+x}{1-3x}$，且f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，…，
f_n（x）=f[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N）．
∴f₁（1）=$\frac{1+1}{1-3×1}$=-1，f₂（1）=$\frac{1-1}{1-3×（-1）}$=0，f₃（1）=$\frac{1+0}{1-3×0}$=1，
f₄（1）=$\frac{1+1}{1-3×1}$=-1，…，以此類推，f₈（1）=0；
②分段函數(shù)：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，取x₀=1，則f₁（x₀）=-1，f₂（x₀）=1，…
當n為奇數(shù)時，f_n（x₀）=-1，當n為偶數(shù)時，f_n（x₀）=1．
∴由f₁（x₀），f₂（x₀），…，f_n（x₀），…組成的集合有且僅有兩個元素-1，1．
故答案為：（1）0；（2）$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應用，對題意的理解是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．