Question

18．已知函數(shù)φ（x）=sinx-kx（k∈R）．
（I）若函數(shù)φ（x）在x=0處的切線與y軸垂直，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）若函數(shù)φ（x）在R內(nèi)單調(diào)，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）當k=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)y=φ（2x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算φ′（0）=0，求出k的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論函數(shù)遞增或遞減，得到關于導函數(shù)的不等式，求出k的范圍即可；
（Ⅲ）求出y=φ（2x）的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）φ′（x）=cosx-k，
則φ′（0）=1-k，
若函數(shù)φ（x）在x=0處的切線與y軸垂直，
則1-k=0，解得：k=1；
（Ⅱ）φ′（x）=cosx-k，cosx∈[-1，1]，
由φ′（x）≥0，得k≤cosx，故k≤-1，
由φ′（x）≤0，得k≥cosx，故k≥1，
故函數(shù)φ（x）在R內(nèi)遞增時，k≤-1，
函數(shù)φ（x）在R內(nèi)遞減時，k≥1；
（Ⅲ）k=$\frac{1}{2}$時，φ（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x，
故y=φ（2x）=sin2x-x，
φ′（2x）=2cos2x-1，
令φ′（2x）＞0，解得：-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{6}$，
令φ′（2x）＜0，解得：-$\frac{π}{2}$＜x＜-$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
故y=φ′（2x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）遞減，在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）遞增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道中檔題．