Question

為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x²-40x+900，
（1）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？
（2）若每處理一噸廢棄物可得價值為20萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼10萬元．當(dāng)x∈[20，25]時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）建立平均成立的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）求出收入和成本之間的差值，即利潤函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x²-40x+900，
∴每噸的平均處理成本P=

y

x

=

x2-40x+900

x

=x+

900

x

-40≥2

x• 900 x

-40=60-40=20，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

900

x

，即x=30噸時，取等號，此時平均處理成本最少．
（2）根據(jù)題意得，利潤P和處理量x之間的關(guān)系：
P=（20+10）x-y=30x-y=30x-（x²-40x+900）
=-x²+70x-900
=-（x-35）²+325，x∈[20，25]．
∵x=35∉[20，25]，P=-（x-35）²+325在[20，25]上為增函數(shù)，
可求得P∈[100，225]． 
則最大獲利225萬元．
∴國家只需要補貼75萬元，該工廠就不會虧損．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)最值的求解，正確運用求函數(shù)最值的方法是關(guān)鍵，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．