Question

三角形ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），
（1）求BC邊上的高所在直線的方程．
（2）求三角形ABC的外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）先求出直線BC的斜率，求BC邊上的高所在直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程得BC邊上的高所在的直線方程；
（2）方法一：先求出BC的中點(diǎn)，再由（1）求出BC的垂直平分線方程，同理再求出的AB的垂直平分線方程，聯(lián)立后可求三角形外接圓的圓心，從而求得半徑，得三角形外接圓的方程；
方法二：利用待定系數(shù)法，可求△ABC外接圓的方程．．

解答： 解：（1）∵BC邊的斜率：kBC=

-8-(-3)

2-7

=1…（2分）
∴BC邊上的高所在直線斜率：k=-1…（4分）
∴BC邊上的高所在直線的方程為：y-1=-1×（x-5），
即x+y-6=0…（6分）
（2）方法1：BC中點(diǎn)（

9

2

，-

11

2

），BC邊的垂直平分線為y+

11

2

=-1×(x-

9

2

)，
即x+y+1=0…（7分）
∵AB中點(diǎn)（6，-1），AB邊的斜率為

1-(-3)

5-7

=-2
∴AB邊的垂直平分線為y+1=

1

2

×(x-6)即x-2y-8=0…（7分）
由

x+y+1=0 x-2y-8=0

得

x=2 y=-3

，得圓心（2，-3）…（10分）
則半徑為

(2-5)2+(-3-1)2

=5…（11分）
故外接圓方程為（x-2）²+（y+3）²=25…（12分）
方法2：設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則5²+1²+D•5+E•1+F=0，①
7²+（-3）²+D•7+E•（-3）+F=0，②
2²+（-8）²+D•2+E•（-8）+F=0，③
聯(lián)立①②③解得，D=-4，E=6，F(xiàn)=-12．（11分）
所以△ABC外接圓的方程為x²+y²-4x+6y-12=0．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了直線的一般方程、直線方程的點(diǎn)斜式，考查了圓的方程的求法：幾何法、待定系數(shù)法，要熟記有些率的兩條直線垂直的充要條件是斜率之積等于-1．