Question

已知函數f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

ln3n

3n

＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=0時，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞）；單調減區(qū)間是（-1，0）．當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．當0＜a＜1時，列表討論f（x）與f'（x）的情況能求出f（x）的單調區(qū)間．
（3）

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），
∴f′（x）=1-ax-

1

1+x

=

x(1-a-ax)

1+x

，x＞-1，
：①當a=0時，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞）；單調減區(qū)間是（-1，0）．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
當0＜a＜1時，f（x）與f'（x）的情況如下：
當a＞0時，令f′（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
當0＜a＜1時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調增區(qū)間是（0，

1

a

-1）；單調減區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
當a=1時，f（x）的單調減區(qū)間是（-1，+∞）．
當a＞1時，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；單調減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞）；單調減區(qū)間是（-1，0）．
綜上，當a≤0時，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-1，0）；
當0＜a＜1時，f（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

-1），減區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
當a=1時，f（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當a＞1時，f（x）的增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
（3）證明：

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=（1+

ln2-2

2

）+（1+

ln3-3

3

）+（1+

ln4-4

4

）+…+（1+

1n3n-3n

3n

）
=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）
＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

點評：本題重點考查利用導數研究函數的性質，利用函數的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．