【題目】設有三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個矩形的兩個頂點M，N及的中點S處，，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)（含邊界），且與M，N等距離的一點O處設一個宣講站，記O點到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為．

（1）設，試將L表示為x的函數(shù)并寫出其定義域；

（2）試利用（1）的函數(shù)關系式確定宣講站O的位置，使宣講站O到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和最小．

【答案】（1）；（2）宣講站位置O滿足：，時，可使得三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)到宣講站的距離之和最小．

【解析】

（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義表示出，從而得出關于的函數(shù)；

（2）利用換元法，令，可得，然后再根據(jù)不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出取得最小值時的大�。�

（1）過O作，垂足為T，圖略，則T為的中點，

∴，

∴，，，

∴．

（2）由（1）知，，

∴，

令，

則，∴，

由得，或（舍），

當時，，L取最小值，

即宣講站位置O滿足：，，時，

可使得三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)到宣講站的距離之和最�。�

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