Question

3．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（l）求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程
（2）是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0，1），并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，使以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，根據(jù)圓M與直線x=-1相切可得|MF|=|MN|，結(jié)合拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，從而解決問題；
（2）對(duì)“是否存在性”問題，先假設(shè)存在，設(shè)直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合根的判別式求出k的范圍，再利用向量垂直求出k值，看它們之間是否矛盾，沒有矛盾就存在，否則不存在．

解答 解：（1）如圖．設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)（1，0），過點(diǎn)M作直線x=-1的垂線，垂足為N，
由題意知：|MF|=|MN|…（2分）
即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，
∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為y²=4x  …（6分）
（2）由題可設(shè)直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}x=k（y-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ky+4k=0△=16k²-16＞0，k＜-1或k＞1…（8分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k
因?yàn)橐訮Q為直徑的圓過原點(diǎn)，
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即$\overrightarrow{OP}=（{x_1}，{y_1}）\overrightarrow{，OQ}=（{x_2}，{y_2}）$，于是x₁x₂+y₁y₂=0  …（10分）
即k²（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂=0，
∴$（{k^2}+1）{y_1}{y_2}-{k^2}（{y_1}+{y_2}）+{k^2}=0$
∴4k（k²+1）-k²4k+k²=0，解得k=-4或k=0（舍去）
又k=-4＜-1，∴直線l存在，其方程為x+4y-4=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查曲線與方程，直線和拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求解存在性問題的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．