Question

18．已知函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1-ax}{1+x}$是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-log₂（mx），是否存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（x）+f（-x）=${log}_{2}\frac{1-ax}{1+x}+lo{g}_{2}\frac{1+ax}{1-x}$=0，由此能求出a．
（2）當a=-1時，g（x）=f（x）-log₂（mx）=-log₂（mx）=0，得x=$\frac{1}{m}$，不存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點；當a=1時，g（x）=f（x）-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$=0，得不存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1-ax}{1+x}$是奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=${log}_{2}\frac{1-ax}{1+x}+lo{g}_{2}\frac{1+ax}{1-x}$
=$lo{g}_{2}（\frac{1-ax}{1+x}×\frac{1+ax}{1-x}）$=0，
∴$\frac{1-ax}{1+x}×\frac{1+ax}{1-x}$=1，
∴1-a²x²=1-x²，
解得a=1或a=-1（舍）
故a=1．
（2）不存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點，理由如下：
a=1，g（x）=f（x）-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$，
由$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$=0，得$\frac{1-x}{（1+x）mx}$=1，不存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點．
綜上，不存在非零實數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個零點．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)是否有兩個零點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意奇函數(shù)性質(zhì)的合理運用．