Question

3．如圖所示，已知∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的斜線，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a，BC=$\sqrt{2}$a，求OA和平面α所成的角．

Answer 1

分析 取BC的中點D，連接AD，BD，可得△OAC，△OAB是等邊三角形，△OBC，△ABC是直角三角形，故AD⊥BC，利用勾股定理得出OD⊥AD，故AD⊥α，于是∠AOD為所求角．

解答 解：取BC的中點D，連接AD，BD．
∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°，
∴△OAC，△OAB是等邊三角形，
∴AB=AC=a，
∴AD⊥BC，
又BC=$\sqrt{2}$a，
∴∠BOC=∠BAC=90°，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴OD²+AD²=OA²，
∴AD⊥OD，
又BC?平面α，OD?平面α，BC∩OD=D，
∴AD⊥平面α，∴∠AOD為OA與平面α所成的角，
∵OD=AD，AD⊥OD，
∴∠AOD=45°，即OA和平面α所成的角為45°．

點評 本題考查了線面角的計算，做出平面α的垂線，找出要求的線面角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．