Question

【題目】有1998名運動員號碼為1～1998這1998個自然數(shù)，從中選出若干名運動員參加儀仗隊，但要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積.那么，選為儀仗隊的運動員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由.

Answer 1

【答案】43

【解析】

可選出號碼為這43名運動員去當(dāng)儀仗隊員作為選取方案，即可滿足題目條件要求，理由如下：

因為選出這43名運動員作儀仗隊員后，剩下運動員的號碼（除1號外）的任何兩個號碼數(shù)的積將大于.而1與任何一個號碼數(shù)相乘不會等于第三個不同的數(shù).所以，剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積.

現(xiàn)在證明：43是選為儀仗隊的運動員的最少人數(shù).也就是證明：當(dāng)選取42個運動員為儀仗隊員后，余下的隊員中至少有這樣的三個號碼數(shù)，其中兩個號碼數(shù)的乘積等于第三個號碼數(shù).為此，我們考察三數(shù)組.

即.

因為函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，所以，寫出的數(shù)目是不相同的，并且都不超過.這樣的三數(shù)組個數(shù)為43個.如果選出的運動員少于43個，至多為42個，上述43個三數(shù)組中，至少要有一組三個數(shù)都沒被選，則這三個數(shù)作為被剩下的運動員的號碼，其中一個數(shù)等于另外兩數(shù)的乘積，就不滿足題設(shè)條件要求了，所以，選為儀仗隊的運動員至少要有43個.