【題目】如圖,已知四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形,平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC= AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,點M是棱ED的中點.
(1)求證:CM∥平面ABEF;
(2)求三棱錐D﹣ACF的體積.
【答案】
(1)
證明:幾何法:連結(jié)AE,BF,交于點O,連結(jié)OM,
∵ABEF是正方形,∴O是AE中點,
∵M是DE中點,∴OM AC,
∵ABCD是直角梯形,AB=BC= AD=1,
∴BC AC,∴BC OM,
∴四邊形BCMO是平行四邊形,
∴BO∥CM,
∵BO平面ABEF,CM平面ABEF,
∴CM∥平面ABEF.
向量法:∵四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形,
平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC= AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,點M是棱ED的中點.
∴以A為原點,AF為x軸,AC為y軸,AB為z軸,建立空間直角坐標系,
D(0,2,0),E(1,0,1),M( ),C(0,1,1),
=( ),
平面ABEF的法向量 =(0,1,0),
∵ =0,CM平面ABEF,∴CM∥平面ABEF.
(2)
解:(2)∵點F到平面ACD的距離AF=1,
S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC= =1,
∴三棱錐D﹣ACF的體積:
VD﹣ACF=VF﹣ACD= = = .
【解析】(1)幾何法:連結(jié)AE,BF,交于點O,連結(jié)OM,推導(dǎo)出四邊形BCMO是平行四邊形,由此能證明CM∥平面ABEF.
向量法:以A為原點,AF為x軸,AC為y軸,AB為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明CM∥平面ABEF.(2)三棱錐D﹣ACF的體積VD﹣ACF=VF﹣ACD , 由此能求出結(jié)果.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,底面ABC是邊長為6的正三角形,PA⊥底面ABC,且PB與底面ABC所成的角為 .
(1)求三棱錐P﹣ABC的體積;
(2)若M是BC的中點,求異面直線PM與AB所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的最小正周期為π.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若a,b,c分別為△ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊,角A是銳角,f(A)=0,a=1,b+c=2,求△ABC的面積.
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【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳疼減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其大意為:“有一個人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起腳疼每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了?”根據(jù)此規(guī)律,求后3天一共走多少里( )
A.156里
B.84里
C.66里
D.42里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)x,y滿足 若z=x+my的最小值是﹣5,則實數(shù)m取值集合是( )
A.{﹣4,6}
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4sin (ω>0). (Ⅰ)若ω=3,求f(x)在區(qū)間 上的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,求ω的值.
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【題目】如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2,∠DAB=60°,四邊形CDEF為正方形,平面CDEF⊥平面ABCD.
(Ⅰ)若點G是棱AB的中點,求證:EG∥平面BDF;
(Ⅱ)求直線AE與平面BDF所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段FC上是否存在點H,使平面BDF⊥平面HAD?若存在,求 的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,已知橢圓 (a>b>0)的左右頂點分別是A(﹣ ,0),B( ,0),離心率為 .設(shè)點P(a,t)(t≠0),連接PA交橢圓于點C,坐標原點是O.
(Ⅰ)證明:OP⊥BC;
(Ⅱ)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積,求|t|的最小值.
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