【題目】如圖,已知四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形,平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC= AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,點M是棱ED的中點.

(1)求證:CM∥平面ABEF;
(2)求三棱錐D﹣ACF的體積.

【答案】
(1)

證明:幾何法:連結(jié)AE,BF,交于點O,連結(jié)OM,

∵ABEF是正方形,∴O是AE中點,

∵M是DE中點,∴OM AC,

∵ABCD是直角梯形,AB=BC= AD=1,

∴BC AC,∴BC OM,

∴四邊形BCMO是平行四邊形,

∴BO∥CM,

∵BO平面ABEF,CM平面ABEF,

∴CM∥平面ABEF.

向量法:∵四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形,

平面ABEF⊥平面ABCD,AB=BC= AD=1,AB⊥AD,BC∥AD,點M是棱ED的中點.

∴以A為原點,AF為x軸,AC為y軸,AB為z軸,建立空間直角坐標系,

D(0,2,0),E(1,0,1),M( ),C(0,1,1),

=( ),

平面ABEF的法向量 =(0,1,0),

=0,CM平面ABEF,∴CM∥平面ABEF.


(2)

解:(2)∵點F到平面ACD的距離AF=1,

S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC= =1,

∴三棱錐D﹣ACF的體積:

VD﹣ACF=VF﹣ACD= = =


【解析】(1)幾何法:連結(jié)AE,BF,交于點O,連結(jié)OM,推導(dǎo)出四邊形BCMO是平行四邊形,由此能證明CM∥平面ABEF.
向量法:以A為原點,AF為x軸,AC為y軸,AB為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明CM∥平面ABEF.(2)三棱錐D﹣ACF的體積VD﹣ACF=VF﹣ACD , 由此能求出結(jié)果.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

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