Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，PA⊥平面ABCD．
（1）求PB與平面PCD所成角的正弦值；
（2）棱PD上是否存在一點E滿足∠AEC=90°？

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|即為所求；
（2）假設(shè)存在E符合條件，設(shè)$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}=0$，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}=0$，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，不妨取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，則E（0，2λ，1-λ），
則$\overrightarrow{CE}=（-1，2λ-1，1-λ）$，$\overrightarrow{AE}=（0，2λ，1-λ）$，
由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{）^2}=0$，
即5λ²-4λ+1=0，方程無解，
∴棱PD上不存在一點E滿足∠AEC=90°．

點評 本題考查了空間向量的應(yīng)用，線面角的計算，屬于中檔題．