5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x2+a,g(x)=x2+mln(x+1).
(I)若f(x)在x∈[-$\frac{1}{2}$,1]上的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值;
(II)若g(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(III)在(I)的條件下,當(dāng)m=1時(shí),令F(x)=f(x)+g(x),試證明ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{n-1}{{n}^{3}}$(n∈N+)恒成立.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為m≥-2x2-2x=-2${(x+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在(-1,+∞)上恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可;
(Ⅲ)當(dāng)m=1時(shí),F(xiàn)(x)=f(x)+g(x)=x3-x2+ln(x+1),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到ln(x+1)>x2-x3在(0,+∞)上恒成立.令x=$\frac{1}{n}$∈(0,+∞),證出結(jié)論即可.

解答 (I)解:因?yàn)閒(x)=x3-2x2+a,
所以f′(x)=3x2-4x,
令f′(x)=0,得x=0或x=$\frac{4}{3}$,
又f(x)在[-$\frac{1}{2}$,0)上遞增,在(0,1]上遞減,
所以f(x)max=f(0)=a=0.…(2分)
(II)解:因?yàn)間′(x)=2x+$\frac{m}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+m}{x+1}$,
又函數(shù)g(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),
所以g′(x)≥0或g′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.
若g′(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,
即函數(shù)g(x)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù),
則m≥-2x2-2x=-2${(x+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在(-1,+∞)上恒成立,
由此可得:m≥$\frac{1}{2}$.…(4分)
若g′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,
即函數(shù)g(x)是定義域上的單調(diào)遞減函數(shù),
則m≤-2x2-2x=-2${(x+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在(-1,+∞)上恒成立,
因?yàn)?2${(x+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{1}{2}$在(-1,+∞)上沒有最小值,
所以不存在實(shí)數(shù)m使g′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.…(6分)
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$,+∞).…(7分)
(III)證明:在(I)的條件下,
當(dāng)m=1時(shí),F(xiàn)(x)=f(x)+g(x)=x3-x2+ln(x+1),
則F′(x)=3x2-2x+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{3x}^{3}{+(x-1)}^{2}}{x+1}$,
顯然當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,
所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以F(x)>F(0)=0,即ln(x+1)>x2-x3在(0,+∞)上恒成立.
令x=$\frac{1}{n}$∈(0,+∞)(n∈N*),…(10分)
則有l(wèi)n($\frac{1}{n}$+1)>$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{3}}$,即ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{n-1}{{n}^{3}}$(n∈N*)恒成立.…(12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查不等式的證明以及轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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15.已知函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x-1,有下列四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù);
②點(diǎn)($\frac{3π}{8}$,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;
③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到;
④若x∈[0,$\frac{π}{2}$],則f(x)的值域?yàn)閇0,$\sqrt{2}$].
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②.

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16.將函數(shù)y=2sin(2x+$\frac{π}{3}$)的圖象向右平移$\frac{1}{4}$個(gè)周期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為$y=2sin(2x-\frac{π}{6})$.

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13.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角;A,B,C所對(duì)邊分別為;a,b,c,若b2+c2<a2,且cos2A-3sinA+1=0,則sin(C-A)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(2A-B)的取值范圍為( 。
A.(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$)B.(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]C.[0,-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]D.(-$\frac{2}{3}$,-$\frac{1}{2}$)

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20.若函數(shù)f(x)=$\frac{x}{(3x+2)(x-a)}$為奇函數(shù),則a=( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.1

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10.在△ABC中,tanA=$\frac{3}{4}$,tan(A-B)=-$\frac{1}{3}$,則tanC的值為$\frac{79}{3}$.

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17.已知Sn=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$,若Sm=10,則m=( 。
A.11B.99C.120D.121

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14.已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且在(-∞,0)上是增函數(shù),則f(a2-a+1)與f($\frac{3}{4}$)的大小關(guān)系為( 。
A.f(a2-a+1)<$f(\frac{3}{4})$B.f(a2-a+1)>$f(\frac{3}{4})$C.f(a2-a+1)≤$f(\frac{3}{4})$D.f(a2-a+1)≥$f(\frac{3}{4})$

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15.已知全集U=R,集合M={x|y=$\sqrt{1-x}$},則∁UM=(  )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.(1,+∞)

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