Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù)；
②點(diǎn)（$\frac{3π}{8}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域?yàn)閇0，$\sqrt{2}$]．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，
化簡(jiǎn)得：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ$-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]，（k∈Z），
當(dāng)k=0時(shí)，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是單調(diào)遞增；∴①對(duì)．
函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}πk-\frac{π}{8}$，0），（k∈Z），
當(dāng)k=1時(shí)，可得函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（$\frac{3π}{8}$，0）；∴②對(duì)．
函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin2（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x．∴③不對(duì)．
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，那么$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，當(dāng)$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最小值為1，∴值域?yàn)閇1，$\sqrt{2}$]．
∴④不對(duì)．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算，有一定的綜合性，屬于中檔題．