Question

已知a，b，c為正數(shù)．
（1）求證：

b

a

+

c

b

+

a

c

≥3；
（2）求證：

a

a+b

+

b

b+c

+

c

a+c

＜2．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：不等式

分析：（1）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可證，
（2）利用放縮法，

a

a+b

＜

a+c

a+b+c

；

b

b+c

＜

a+b

a+b+c

；

c

a+c

＜

b+c

a+b+c

，三式相加得結(jié)論

解答： 解：（1）∵

b

a

•

c

b

•

a

c

=1
∴

b

a

+

c

b

+

a

c

≥3

b a • c b • a c

=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號；
（2）∵a，b，c為正數(shù)
∴

a

a+b

＜

a+c

a+b+c

；

b

b+c

＜

a+b

a+b+c

；

c

a+c

＜

b+c

a+b+c

∴

a

a+b

+

b

b+c

+

c

a+c

＜

a+c

a+b+c

+

a+b

a+b+c

+

b+c

a+b+c

=2

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．使用基本不等式時一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則．