Question

【題目】在展開式的全體系數(shù)中，有多少個(gè)7的倍數(shù)？

Answer 1

【答案】1722

【解析】

將問題一般化.

先證明一個(gè)引理.

引理 設(shè)為正整數(shù)，為素?cái)?shù)，.若在的進(jìn)制表達(dá)式的各位數(shù)碼中，共有個(gè)1，個(gè)2，…，個(gè)，則在展開式的各系數(shù)中，的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為.

證明 先求集合中與互素的元素個(gè)數(shù).

記.

因?yàn)?/span>為素?cái)?shù)，，所以，.而，

故，

其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

注意到，對(duì)每個(gè)均有.

故. ①

設(shè)，，其中，、、.

由式①依次得，.

對(duì)于上面每一式，可以取0，1，…，共個(gè)值，故在集合中，使得的有個(gè).

若的進(jìn)制表示的各位數(shù)碼中，共有個(gè)1，個(gè)2，…，個(gè)，則，即集合中有個(gè)數(shù)與互素.

從而，在集合中有個(gè)數(shù)為的倍數(shù).

回到原題.

由2015的七進(jìn)制表達(dá)式為，其數(shù)碼中有一個(gè)5，兩個(gè)6，則在展開式的各系數(shù)中，7的倍數(shù)有（個(gè)）.