Question

【題目】設(shè)常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，曲線：．與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)．、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）用表示點(diǎn)到點(diǎn)距離；

（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)在直線，求的面積；

（3）設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）方法一：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得|BF|；

方法二：根據(jù)拋物線的定義，即可求得|BF|；

（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得OD的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得△AQP的面積；

（3）設(shè)P及E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線kPFkFQ=﹣1，求得直線QF的方程，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)+=，求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則（）2=8（+6），即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）方法一：由題意可知：設(shè)，

則，

∴；

方法二：由題意可知：設(shè)，

由拋物線的性質(zhì)可知：，∴；

（2），，，則，

∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)，

，

，則直線方程：，

聯(lián)立，整理得：，

解得：，（舍去），

∴的面積；

（3）存在，設(shè)，，則，，

直線方程為，∴，，

根據(jù)，則，

∴，解得：，

∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上，且．