Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin²x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)
• B、f（x）最大值是1
• C、f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

  π

  2

  ，0）對(duì)稱
• D、f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性的概念對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答：解：A，∵f（x）=cosxsin²x，
∴f（-x）=cos（-x）sin²（-x）=cosxsin²x=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
又f（x+2π）=cos（x+2π）sin²（x+2π）=cosxsin²x=f（x），
f（x）是周期函數(shù)；
∴f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，即A正確；
B，∵|cosx|≤1，|sin²x|≤1，二者不能同時(shí)取到等號(hào)，
∴無論x取什么值，f（x）=cosxsin²x均取不到值1，故B錯(cuò)誤；
C，∵f（x）+f（π-x）=cosxsin²x+cos（π-x）sin²（π-x）=cosxsin²x-cosxsin²x=0，
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對(duì)稱，即C正確；
D，∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin²（2π-x）=cosxsin²x=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，即D正確．
綜上所述，結(jié)論中錯(cuò)誤的是：B．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，著重考查函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性及最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．