Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d（a＞0）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求c，d的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）若=5，方程f（x）=8a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象過點（0，3）求出d，再利用1是極值點求出c，
（Ⅱ）利用切線的斜率為-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可．
（Ⅲ）把方程f（x）=8a有三個不同的根轉化為兩個函數(shù)有三個不同的交點，利用圖形可得f（5）＜8a＜f（1）求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由圖可知函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0
得

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

  ?

d=3 c=0

（3分）
（Ⅱ）依題意f′（2）=-3且f（2）=5，
即

12a+4b-3a-2b=-3 8a+4b-6a-4b+3=5

解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3（8分）
（Ⅲ）依題意f（x）=ax³+bx²-（3a+2b）x+3（a＞0）
f′（x）=3ax²+2bx-3a-2b
由f′（5）=0?b=-9a①
若方程f（x）=8a有三個不同的根，當且僅當滿足f（5）＜8a＜f（1）②
由①②得-25a+3＜8a＜7a+3?

1

11

＜a＜3
所以當

1

11

＜a＜3時，方程f（x）=8a有三個不同的根．（13分）

點評：本題考查根的個數(shù)的應用和數(shù)形結合思想的應用．，數(shù)形結合的應用大致分兩類：一是以形解數(shù)，即借助數(shù)的精確性，深刻性來講述形的某些屬性；二是以形輔數(shù)，即借助與形的直觀性，形象性來揭示數(shù)之間的某種關系，用形作為探究解題途徑，獲得問題結果的重要工具．