Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a₆=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}×{（{\frac{3}{2}}）^6}$
• B． $\frac{1}{2}×{（{\frac{3}{2}}）^5}$
• C． ${（{\frac{3}{2}}）^5}$
• D． ${（{\frac{3}{2}}）^6}$

Answer 1

分析 由f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），即為f（S_n+2）=f（3）+f（a_n），由條件可得f（S_n+2）=f（3a_n），由單調(diào)性可得S_n+2=3a_n，求得首項(xiàng)，將n換為n-1，相減，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求值．

解答 解：f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），即為
f（S_n+2）=f（3）+f（a_n），
由f（x•y）=f（x）+f（y），可得
f（S_n+2）=f（3a_n），
由函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
可得S_n+2=3a_n，
當(dāng)n=1時，可得S₁+2=3a₁=a₁+2，
解得a₁=1，
當(dāng)n＞1時，S_n-1+2=3a_n-1，
相減可得，a_n=3a_n-3a_n-1，
即為a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，
則a_n=a₁（$\frac{3}{2}$）^n-1=（$\frac{3}{2}$）^n-1．
則a₆=（$\frac{3}{2}$）⁵．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．