Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

Answer 1

解：由題意得 a=3，b=2，c=，F(xiàn)₁（-，0），F(xiàn)₂ （，0）．
當(dāng)PF₂⊥x軸時(shí)，P的橫坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)為±，∴===．
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時(shí)，設(shè)|PF₂|=m，則|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即 20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 ==2．
綜上，的值等于 或2．
分析：當(dāng)PF₂⊥x軸時(shí)，求出P的縱坐標(biāo)，即得|PF₂|的值，由橢圓的定義求得|PF₁|，進(jìn)而求得 的值．
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時(shí)，設(shè)|PF₂|=m，由橢圓的定義求得|PF₁|，由勾股定理可解得m，進(jìn)而求得 的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮
PF₂⊥x軸時(shí)的情況．