Question

15．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b，c，且A=$\frac{2π}{3}$，a=2bcosC．
（1）求角B的大��；
（2）若AB邊上的中線CM的長為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由a=2bcosC，利用正弦定理可得：sinA=2sinBcosC，又A=$\frac{2π}{3}$，A+B+C=π．可得：$sin\frac{2π}{3}$=sin（B+C）+sin（B-C），化簡即可得出．
（2）如圖所示，取BC的中點D，連接AD，則AD⊥BC．設(shè)AD=x，則BD=DC=$\sqrt{3}$x，AB=AC=2x．在△ACM中，由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=x²+（2x）²-2•x•2xcos$\frac{2π}{3}$，解得x，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=2bcosC，∴sinA=2sinBcosC，
又A=$\frac{2π}{3}$，A+B+C=π．
∴$sin\frac{2π}{3}$=sin（B+C）+sin（B-C）=$sin\frac{π}{3}$+sin（B-C），
∴sin（B-C）=0，
∴B=C=$\frac{π}{6}$．
（2）如圖所示，取BC的中點D，連接AD，則AD⊥BC．
設(shè)AD=x，則BD=DC=$\sqrt{3}$x，AB=AC=2x．
在△ACM中，由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=x²+（2x）²-2•x•2xcos$\frac{2π}{3}$，
化為：x²=1，解得x=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（2x）^{2}•sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．